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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

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1. Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
j) f(x)=ex,y=ln⁡5f(x)=e^{x}, y=\ln 5, eje yy

Respuesta

En este problema tenemos las siguientes funciones:

f(x)=ex f(x) = e^x
g(x)=ln⁡(5) g(x) = \ln(5)

Aclaración: Acordate que ln⁡(5)\ln(5) es simplemente un número, o sea, esto es una recta con pendiente cero. Graficá en GeoGebra y=ln⁡(5)y = \ln(5) y convencente si todavía no cierra :)
Además nos imponen el límite de integración x=0 x = 0 (eje yy) 1) Puntos de intersección
ex=ln⁡(5) e^x = \ln(5)
Tomamos logaritmo natural a ambos lados:
x=ln⁡(ln⁡(5)) x = \ln(\ln(5))

Si, este es el punto de intersección, esto es un número. Poné en la calcu ln⁡(5)\ln(5) y después ln⁡Ans\ln Ans y te da algo así como 0.47...0.47..., ese es el punto de intersección. Por lo tanto, tenemos los límites de integración x=0 x = 0 y x=ln⁡(ln⁡(5)) x = \ln(\ln(5)) . 2) Techo y piso En el intervalo [0,ln⁡(ln⁡(5))][0, \ln(\ln(5))], deberías llegar a que g(x)=ln⁡(5) g(x) = \ln(5) es el techo y f(x)=ex f(x) = e^x es el piso. 3) Planteamos la integral del área A=∫0ln⁡(ln⁡(5))(g(x)−f(x)) dx=∫0ln⁡(ln⁡(5))(ln⁡(5)−ex) dx A = \int_{0}^{\ln(\ln(5))} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{\ln(\ln(5))} (\ln(5) - e^x) \, dx

Resolvemos la integral (atenti cuando integras, acordate que ln⁡(5)\ln(5) es un número ¿cómo me va a quedar esa primitiva?)

A= ∫0ln⁡(ln⁡(5))(ln⁡(5)−ex) dx = ln⁡(5)x−ex∣0ln⁡(ln⁡(5))= ln⁡(5)⋅ln⁡(ln⁡(5))−ln⁡(5)+1≈0.15... A = \int_{0}^{\ln(\ln(5))} (\ln(5) - e^x) \, dx =  \ln(5)x - e^x \Big|_{0}^{\ln(\ln(5))} = \ln(5) \cdot \ln(\ln(5)) - \ln(5) + 1 \approx 0.15...

Si gente, este es el resultado, ese choclo es un número y lo dejás así (solamente lo pondría en la calcu para ponerle al lado el valor aproximado y chequear que efectivamente sea positivo)
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GuadaBorsani
23 de junio 21:23
Hola! A mí al final me quedó ln(5).ln(ln(5)) - 5 - 1
El 5 salió de hacer e elevado a ln(5) y después, al reemplazar por 0, el ln se anula y me queda -e a la 0 y de ahí me sale el 1
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Flor
PROFE
24 de junio 9:12
@GuadaBorsani Ojo Guada con eso: Primero, cuando te queda eln⁡(ln⁡(5))e^{\ln(\ln(5))} eso es igual a ln⁡(5)\ln(5), no a 55. Asi como, por ejemplo si vos tenías:

eln⁡(2)=2e^{\ln(2)} = 2

bueno, ahora en vez de un 22 tenés ln⁡(5)\ln(5):

eln⁡(ln⁡(5))=ln⁡(5)e^{\ln(\ln(5))} = \ln(5) 

Y después no te olvides del "menos" del Barrow, es verdad que al evaluar en x=0x=0 te queda −e0=−1-e^0 = -1, pero con el menos del Barrow de adelante, te termina quedando +1+1. 
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